流形学习-高维数据的降维与可视化

1.流形学习的概念

流形学习方法(Manifold Learning)，简称流形学习，自2000年在著名的科学杂志《Science》被首次提出以来，已成为信息科学领域的研究热点。在理论和应用上，流形学习方法都具有重要的研究意义。

假设数据是均匀采样于一个高维欧氏空间中的低维流形，流形学习就是从高维采样数据中恢复低维流形结构，即找到高维空间中的低维流形，并求出相应的嵌入映射，以实现维数约简或者数据可视化。它是从观测到的现象中去寻找事物的本质，找到产生数据的内在规律。

以上选自百度百科

简单地理解，流形学习方法可以用来对高维数据降维，如果将维度降到2维或3维，我们就能将原始数据可视化，从而对数据的分布有直观的了解，发现一些可能存在的规律。

2.流形学习的分类

可以将流形学习方法分为线性的和非线性的两种，线性的流形学习方法如我们熟知的主成份分析（PCA），非线性的流形学习方法如等距映射（Isomap）、拉普拉斯特征映射（Laplacian eigenmaps，LE）、局部线性嵌入(Locally-linear embedding，LLE)。

当然，流形学习方法不止这些，因学识尚浅，在此我就不展开了，对于它们的原理，也不是一篇文章就能说明白的。对各种流形学习方法的介绍，网上有一篇不错的读物（原作已找不到）： 流形学习 (Manifold Learning)

3.高维数据降维与可视化

对于数据降维，有一张图片总结得很好（同样，我不知道原始出处）：

图中基本上包括了大多数流形学习方法，不过这里面没有t-SNE,相比于其他算法，t-SNE算是比较新的一种方法，也是效果比较好的一种方法。t-SNE是深度学习大牛Hinton和lvdmaaten（他的弟子？）在2008年提出的，lvdmaaten对t-SNE有个主页介绍：tsne,包括论文以及各种编程语言的实现。

接下来是一个小实验，对MNIST数据集降维和可视化，采用了十多种算法，算法在sklearn里都已集成，画图工具采用matplotlib。大部分实验内容都是参考sklearn这里的example，稍微做了些修改。

Matlab用户可以使用lvdmaaten提供的工具箱: drtoolbox

- 加载数据

MNIST数据从sklearn集成的datasets模块获取，代码如下，为了后面观察起来更明显，我这里只选取n_class=5，也就是0～4这5种digits。每张图片的大小是8*8，展开后就是64维。

digits = datasets.load_digits(n_class=5)
X = digits.data
y = digits.target
print X.shape
n_img_per_row = 20
img = np.zeros((10 * n_img_per_row, 10 * n_img_per_row))
for i in range(n_img_per_row):
    ix = 10 * i + 1
    for j in range(n_img_per_row):
        iy = 10 * j + 1
        img[ix:ix + 8, iy:iy + 8] = X[i * n_img_per_row + j].reshape((8, 8))
plt.imshow(img, cmap=plt.cm.binary)
plt.title('A selection from the 64-dimensional digits dataset')

运行代码，获得X的大小是(901,64)，也就是901个样本。下图显示了部分样本：

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- 降维

以t-SNE为例子，代码如下，n_components设置为3，也就是将64维降到3维，init设置embedding的初始化方式，可选random或者pca，这里用pca，比起random init会更stable一些。

print("Computing t-SNE embedding")
tsne = manifold.TSNE(n_components=3, init='pca', random_state=0)
t0 = time()
X_tsne = tsne.fit_transform(X)
plot_embedding_2d(X_tsne[:,0:2],"t-SNE 2D")
plot_embedding_3d(X_tsne,"t-SNE 3D (time %.2fs)" %(time() - t0))

降维后得到X tsne，大小是(901,3)，plot embedding 2d()将前2维数据可视化，plot embedding_ 3d()将3维数据可视化。

函数plot embedding 3d定义如下：

def plot_embedding_3d(X, title=None):
    #坐标缩放到[0,1]区间
    x_min, x_max = np.min(X,axis=0), np.max(X,axis=0)
    X = (X - x_min) / (x_max - x_min)
    #降维后的坐标为（X[i, 0], X[i, 1],X[i,2]），在该位置画出对应的digits
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
    for i in range(X.shape[0]):
        ax.text(X[i, 0], X[i, 1], X[i,2],str(digits.target[i]),
                 color=plt.cm.Set1(y[i] / 10.),
                 fontdict={'weight': 'bold', 'size': 9})
    if title is not None:
        plt.title(title)

- 看看效果

十多种算法，结果各有好坏，总体上t-SNE表现最优，但它的计算复杂度也是最高的。下面给出PCA、LDA、t-SNE的结果:

- 代码获取

MachineLearning/ManifoldLearning/DimensionalityReduction_DataVisualizing

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